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Draco dormiens nunquam titillandus

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物理学入门

运动学

运动参考系

对于同一物体的运动,选取的参考系不同,对运动的描述可能不同。

结论1:绝对速度(相对地面的速度)vav_a,牵连速度(参考系的速度)vev_e和相对速度(相对参考系的速度)vrv_r,满足:

va=ve+vr\vec{v_a}=\vec{v_e}+\vec{v_r}

结论2:绝对加速度(相对地面的加速度)aaa_a,牵连加速度(参考系的加速度)aea_e和相对加速度(相对参考系的加速度)ara_r,满足:

aa=ae+ar\vec{a_a}=\vec{a_e}+\vec{a_r}

例如:在空中某处以初速度v0v_0竖直向上抛出的一个小球A,与此同时,在小球A正上方H处有一小球B自由释放下落,问小球A和小球B相遇的时间?已知重力加速度g,不计空气阻力,相遇时两小球均未落地。

解答

由于两小球同时处于重力场中,具有相同的重力加速度,我们以小球B为参考系,取向下为正方向,有:

对于小球B

aBr=aBaaBe=gg=0a_{Br}=a_{Ba}-a_{Be}=g-g=0

\because小球B初速度为0

vBr=vBavBe=00=0\therefore v_{Br}=v_{Ba}-v_{Be}=0-0=0

对于小球A

aAr=aAaaAe=gg=0a_{Ar}=a_{Aa}-a_{Ae}=g-g=0

vAr=vAavAe=v00=v0v_{Ar}=v_{Aa}-v_{Ae}=-v_0-0=-v_0

由此,在小球B参考系下,问题转化成为了匀速运动求时间的问题

t=Hv0t = \frac{H}{v_0}

匀速直线运动

推论
  1. 运动时间等分,时间间隔为TT(初速度为零的匀加或者末速度为零的匀减)有

    Δxi+1Δxi=aT2\Delta x_{i+1}-\Delta x_i = aT^2

    x1:x2::xnx_1:x_2:…:x_n=12:22::n2=1^2:2^2:…:n^2(前tsts内、前2ts2ts内……的位移之比)

    Δx1:Δx2::Δxn\Delta x_1:\Delta x_2:…:\Delta x_n =1:3::(2n1)=1:3:…:(2n-1)(连续相等时间内的位移之比)

    v1:v2::vnv_1:v_2:…:v_n=1:2::n=1:2:…:n(1tt末、2tt末、3tt末……的速度之比)

    v1ˉ:v2ˉ::vnˉ\bar{v_1}:\bar{v_2}:…:\bar{v_n}=1:3::(2n1)=1:3:…:(2n-1)(连续相等时间内的平均速度之比)

  2. 运动位移等分(初速度为零)有

    t1:t2::tnt_1:t_2:…:t_n=1:21::nn1= \sqrt{1}:\sqrt{2}-\sqrt{1}:…:\sqrt{n}-\sqrt{n-1}

机械振动与机械波

  1.  x=Asin(ωt+φ) x=Asin(\omega t+\varphi) 位移
  2. F=kxF=-kx 回复力  a=kmx a=-\frac{k}{m}x回复力加速度
  3. T=2πmkT=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} 弹簧振子周期, T=2πlg T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}单摆周期
  4. 振幅逐渐小的振动叫做阻尼运动;振幅不变的振动叫做无阻尼运动
  5. 振动系统在周期性的外力(驱动力)作用下的振动叫做受迫振动。
    1. 如果振动系统不受外力作用,此时的振动叫作固有振动,其振动频率称为固有频率。
    2. 驱动力的频率等于系统固有频率时,受迫振动的振幅最大。凡是远离固有频率的驱动力频率,振幅都小于最大振幅。
  6. 机械波:λ=vT\lambda=vT
  7. 平衡位置相距2n2λ=nλ(n=1,2,3,4)\frac{2n}{2}\lambda=n\lambda(n=1,2,3,4…)的质点步调一致,相距2n+12(n=1,2,3)\frac{2n+1}{2}(n=1,2,3…)步调相反(奇变偶不变)
  8. 周期和频率决定于波源,波速决定于介质。
  9. 质点不随波迁移。
  10. 振动图像:单个质点随时间变化的图像;波动图像:某一时刻,所有质点的分布
振动图像 波动图像
加速度a=kmxa=-\frac{k}{m}x 质点指向平衡位置 质点指向平衡位置
波长 - 一个完整波形对应的横轴长度
位移 纵坐标 纵坐标
周期 一个完整波形对应的横轴长度 -
波速 v=λfv=\lambda f v=λfv=\lambda f
已知振动方向 - 传播方向向量与振动方向向量在曲线同一侧
已知传播方向 - 传播方向向量与振动方向向量在曲线同一侧
Δt\Delta t后(前)波形 - 将波形沿(逆)波传播方向平移Δx=vΔt\Delta x=v\Delta t
振幅 最大值 最大值
  1. 起振方向与波源一致。
  2. 波的特性
    1. 反射、折射
    2. 衍射:波可以绕过障碍物继续传播。明显衍射条件ρλ\rho\approx \lambda即障碍物尺寸小于或约等于波长。
    3. 独立传播
    4. 叠加:运动学以及力学矢量进行矢量叠加。
    5. 干涉:两列性质频率相同相位差不同的波进行叠加,使某些区域震动和加强,某些区域的振动减弱。
    6. 多普勒效应

光学

物理量 红光 紫光 备注
折射率
临界角 sinC=1nsinC=\frac{1}{n}C>C\Rightarrow C_红>C_紫
全反射难易 光密介质射向光疏介质
光的偏折程度
介质中的光速 n=CVn=\frac{C}{V}
平行砖偏移量 dd=hsinθ1=hsin\theta_1×(1cosθ1n2sin2θ1)\times(1-\frac{cos\theta_1}{\sqrt{n^2-sin^2\theta_1}})
波长λ\lambda C=λfC=\lambda f
干涉条纹 Δx=λ×Ld\Delta x=\frac{\lambda\times L}{d}
衍射难易
频率 C=λfC=\lambda f
光子能量 E=hνE=h\nu
发生光电效应难易
最大初动能 Ek=hνW0E_k=h\nu-W_0
截止频率/遏止电压 eUceU_c=12mevm2=\frac{1}{2}m_ev_m^2=hνW0=h\nu-W_0
波动性和粒子性 波动性显著 粒子性显著
动量大 p=hλp=\frac{h}{\lambda}
饱和光电流 - - 仅与光强有关

静电学

  1. 库仑定律F=kq1q2r2F=k\frac{q_1q_2}{r^2}k=9.0×109Nm2/C2k=9.0\times10^9 N\cdot m^2/C^2

    1. 真空中
    2. 静止的
    3. 点电荷(可以视作一个点的电荷。如果不能看作,那么不能使用库仑定律)
  2. 电场 E=Fcq=kQr2E=\frac{F_c}{q}=k\frac{Q}{r^2}

    在匀强电场中E=UdE=\frac{U}{d}

OO为原点,任意点坐标为(x,y)(x,y),正负电荷之间距离为dd

设在中垂线上的试探电荷与两场源电荷连线夹角为θ\theta

等量异种(左负右正) 等量同种(正)
连线 E={kQ(x+d2)2kQ(xd2)2x<d2kQ(x+d2)2kQ(xd2)2x<d2kQ(xd2)2kQ(x+d2)2x>d2E=\begin{cases}\frac{kQ}{(x+\frac{d}{2})^2}-\frac{kQ}{(x-\frac{d}{2})^2}&x<-\frac{d}{2}\\\\-\frac{kQ}{(x+\frac{d}{2})^2}-\frac{kQ}{(x-\frac{d}{2})^2}&\|x\|<\frac{d}{2}\\\\\frac{kQ}{(x-\frac{d}{2})^2}-\frac{kQ}{(x+\frac{d}{2})^2}&x>\frac{d}{2}\end{cases} E={kQ(x+d2)2kQ(xd2)2x<d2kQ(x+d2)2kQ(xd2)2x<d2kQ(x+d2)2+kQ(xd2)2x>d2E=\begin{cases}-\frac{kQ}{(x+\frac{d}{2})^2}-\frac{kQ}{(x-\frac{d}{2})^2}&x<-\frac{d}{2}\\\\\frac{kQ}{(x+\frac{d}{2})^2}-\frac{kQ}{(x-\frac{d}{2})^2}&\|x\|<\frac{d}{2}\\\\\frac{kQ}{(x+\frac{d}{2})^2}+\frac{kQ}{(x-\frac{d}{2})^2}&x>\frac{d}{2}\end{cases}
中垂线 E=4kQcos2θd,θ(0,π)E=4kQd4y2+d2E=\frac{4kQcos^2\theta}{d},\theta\in(0,\pi) \\\\ E=\frac{4kQd}{4y^2+d^2} E=2kQsin2θd,θ(0,π)E=2kQy4y2+d2E=\frac{2kQsin2\theta}{d},\theta\in(0,\pi)\\\\E=\frac{2kQy}{4y^2+d^2}
中垂线 两点电荷连线的中垂线(面)上,电场线方向均相同,即电场方向相同 两正电荷连线中垂线(面)上的场强方向总沿中垂线(面)背离OO
OO OO点的场强在两个点电荷连线上各点中最小,在中垂线(面)上各点最大 两点电荷连线中点OO处场强为0
对称点 所有关于中点OO对称的电场强度相同 所有关于中点OO对称的电场强度大小相等,方向相反

微元法

均匀带电圆环,电荷量为+Q+Q,半径RR,试探电荷在垂直于圆心的延长线上距离为dd,且试探电荷和圆上连线与延长线的夹角为θ\theta,求试探电荷所在电场大小

微元为nn份圆弧,每份弧长为cc,有cn=2πrcn=2\pi r,且每段弧长可看作为质点,每段弧长电荷量Qn\frac{Q}{n}

EQn=kQcosθn(R2+d2)\Rightarrow E_{\frac{Q}{n}}=\frac{kQcos\theta}{n(R^2+d^2)}E=2πrcEQn\Rightarrow E=\frac{2\pi r}{c}\cdot E_{\frac{Q}{n}}\\\\=2πrckQcosθn(R2+d2)= \frac{2\pi r}{c}\cdot \frac{kQcos\theta}{n(R^2+d^2)}\\\\=kQR2+d2cosθ=\frac{kQ}{R^2+d^2}cos\theta

只剩轴向分量cosθcos\theta

补偿法

均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。在半球面ABAB上均匀分布正电荷,总电荷量为qq,球面半径为RRCDCD为通过半球面定点与球心OO的轴线,在轴线上有MMNN两点,OM=ON=2ROM=ON=2R,已知MM点的场强大小为EE,则NN点的场强大小为多少。

将半球补全为一个完整的球壳,则总电荷量为2q2q,整个球壳在NN点产生的场强为k2q(2R)2=kq2R2\frac{k\cdot 2q}{(2R)^2}=\frac{kq}{2R^2}。由对称性球壳左半部在MM点产生的场强与右半部在NN点产生的等值反向。即补上的部分在NN点产生的场强大小也为EE,方向向右。再由场的叠加可知,NN点总场强等于左右两半球在NN点产生的场强矢量和,故左半部球壳在NN点产生的场强即所求场强为kq2R2E\frac{kq}{2R^2}-E

拆分法

正五边形AA其中四个顶点电荷量为+Q+Q,一个顶点电荷量为3Q-3Q,求外接圆圆心场强。

构造一个正五边形BB,其中五个顶点电荷量全部为+Q+Q,显然BB外心场强为0

比较AABB,其中只有一个顶点为变量,其中变化量为4Q4Q,那引起电场的变化量ΔE=4kQr2\Delta E=\frac{4kQ}{r^2},那么BA=0+ΔEEA=4kQr2B\rightarrow A=0+\Delta E \Rightarrow E_A=\frac{4kQ}{r^2}


  1. 电场中的势能Eep=qφE_{ep}=q\varphi,类比于Egp=GhE_{gp}=Gh
  2. 电场中的势能做功WAB=EpAEpBW_{AB}=E_{pA}-E_{pB}=q(φAφB)=qUAB=q(\varphi_A-\varphi_B)=qU_{AB},其中UABU_{AB}被定义为电势差
  3. 在匀强电场中,设沿电场线方向移动的位移为dd,则有WAB=qEdW_{AB}=qEd,又WAB=qUABW_{AB}=qU_{AB},于是qUAB=qEdUAB=EdqU_{AB}=qEd\Rightarrow U_{AB}=EdE=Ud\Rightarrow E=\frac{U}{d}
  4. 沿电场线方向电势降低
  5. cosπ2=0cos\frac{\pi}{2}=0所以在电场线方向相垂直的线(面)上移动不做功W=0W=0,则该线(面)上电势相等
等量异种 等量同种
中垂面 电势处处相等,且与无穷远处零势能面等势,电势得0 E=2kQy4y2+d2y=kQ4ln(4y2+d2)+2kQC\int{\|\vec{E}\|}=\int{\frac{2kQy}{4y^2+d^2}}\partial{y}=\frac{kQ}{4}ln(4y^2+d^2)+2kQC——O点电势最大
连线 E\int{\|\vec{E}\|}——连线上从正电荷到负电荷各点电势逐渐降低 E\int{\|\vec{E}\|}——等量同种正电荷的电场中,连线上越接近中点电势越低
对称点 关于中点对称的电势绝对值相等,符号相反 所有关于中点对称的点电势相等
  1. 电容决定式C=εSdC=\varepsilon\frac{S}{d},其中ε=εr4πk\varepsilon=\frac{\varepsilon_r}{4\pi k};电容定义式C=QUC=\frac{Q}{U}
不变量 电容 电荷量 电压 场强 场强
U不变 C=εSdC=\varepsilon\frac{S}{d} Q=CUQ=CU - E=UdE=\frac{U}{d} E=QεSE=\frac{Q}{\varepsilon S}
Q不变 C=εSdC=\varepsilon\frac{S}{d} - U=QCU=\frac{Q}{C} E=kQr2\vec{E}=\frac{k\vec{Q}}{r^2} E=QεSE=\frac{Q}{\varepsilon S}
  1. 带电粒子在电场中的直线运动运动

    {qE=maE=Udvt2=v02+2axvt=v0+at\begin{cases}qE=ma\\\\E=\frac{U}{d}\\\\v_t^2=v_0^2+2ax\\\\v_t=v_0+at\end{cases}

    qE=12mvt212mv02qE=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_0^2

  2. 带电粒子在匀强电场中的偏转

    1. 电场力加速度 a=qmE=qmUda=\frac{q}{m}\cdot E=\frac{q}{m}\cdot\frac{U}{d}
    2. 运动时间
      1. 飞出极板时间,其中ll为极板长度,v0v_0为入射速度 t=lv0t=\frac{l}{v_0}
      2. 打在基板上时,t=d2at=\sqrt{\frac{\frac{d}{2}}{a}}
    3. 偏移量
      1. 离开电场时的偏移量y=12at2=12qmUdl2v02y=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{q}{m}\cdot\frac{U}{d}\cdot\frac{l^2}{v_0^2}
      2. 结合加速电场y=12qm0Udm0l22qU0=Ul24U0dy=\frac{1}{2}\cdot\frac{q}{m_0}\cdot\frac{U}{d}\cdot\frac{m_0l^2}{2qU_0}=\frac{Ul^2}{4U_0d}
    4. 偏转角
      1. 速度角tanθ=vyvx=qUlmv02dtan\theta=\frac{v_y}{v_x}=\frac{qUl}{mv_0^2d}由动量定理tanθ=Ul2U0dtan\theta=\frac{Ul}{2U_0d}
      2. tanθ=2tanα=2yx=yl2tan\theta=2tan\alpha=2\cdot\frac{y}{x}=\frac{y}{\frac{l}{2}}

恒定电流

  1. I=nqSvI=nqSv
  2. 定义式 R=UIR=\frac{U}{I} ;决定式 R=ρlSR=\rho\frac{l}{S},其中ρ\rho为电阻率
  3. 焦耳定律
    1. 电功Q=I2Rt=U2RtQ=I^2Rt=\frac{U^2}{R}t
    2. 电功率P=Wt=UI=I2R=U2RP=\frac{W}{t}=UI=I^2R=\frac{U^2}{R},其中W=Q+EW=Q+E_{其他}
  4. 闭合电路欧姆定律
    1. I=ER+rI=\frac{E}{R+r},其中EE为电动势,RR为电路中电阻,rr为电源内阻
    2. E=I(R+r)=U+UE=I\cdot(R+r)=U_外+U_内U=EIr\Rightarrow U_外=E-Ir
UIU_外-I URU_外-R
表达式 U=EIrU_外=E-Ir U=ERR+rU_外=\frac{ER}{R+r}
图像 一次函数,斜率为电源内阻rr 非线性,与RR正相关,渐近线为U=EU_外=E
  1. 电源内阻不计时且路端电压恒定,用电器电学属性(U,I,PU,I,P)“串反并同”

磁场

  1. 磁感应强度定义式 B=FILB=\frac{F}{IL},其中FF为安培力;F=BILF=BIL
向量积

向量的外积仅在三维空间中有定义

外积

  1. a×b=c\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}结果仍是向量

  2. a×b=b×a\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}反交换律

  3. a×b=absinθ\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot sin\theta 外积的模是以a\vec{a}b\vec{b}为边的平行四边形的面积

右手坐标系中,基底i,k,j\vec{i},\vec{k},\vec{j},满足

{i×j=kj×k=ik×i=j{j×i=kk×j=ii×k=ji×i=j×j=k×k=0\begin{cases}\vec{i}\times \vec{j}=\vec{k}\\\\\vec{j}\times \vec{k}=\vec{i}\\\\\vec{k}\times \vec{i}=\vec{j}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\vec{j}\times \vec{i}=-\vec{k}\\\\\vec{k}\times \vec{j}=-\vec{i}\\\\\vec{i}\times \vec{k}=-\vec{j}\end{cases}\Rightarrow \vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=\vec{0}

则有

u×v=(u1i+u2j+u3k)×(v1i+v2j+v3k)\vec{u}\times\vec{v}=(u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})\times(v_1\vec{i}+v_2\vec{j}+v_3\vec{k})

=u1v1(i×i)+u1v2(i×j)+u1v3(i×k)\qquad=u_1v_1(\vec{i}\times\vec{i})+u_1v_2(\vec{i}\times\vec{j})+u_1v_3(\vec{i}\times\vec{k})

+u2v1(j×i)+u2v2(j×j)+u2v3(j×k)\qquad+u_2v_1(\vec{j}\times\vec{i})+u_2v_2(\vec{j}\times\vec{j})+u_2v_3(\vec{j}\times\vec{k})

+u3v1(k×i)+u3v2(k×j)+u3v3(k×k)\qquad+u_3v_1(\vec{k}\times\vec{i})+u_3v_2(\vec{k}\times\vec{j})+u_3v_3(\vec{k}\times\vec{k})

=u1v2ku1v3j+u2v3iu2v2k+u3v1ju3v2i\quad=u_1v_2\vec{k}-u_1v_3\vec{j}+u_2v_3\vec{i}-u_2v_2\vec{k}+u_3v_1\vec{j}-u_3v_2\vec{i}

=(u2v3u3v2)i+(u1v2u2v2)k+(u3v1u1v3)j\quad=(u_2v_3-u_3v_2)\vec{i}+(u_1v_2-u_2v_2)\vec{k}+(u_3v_1-u_1v_3)\vec{j}

F=B×IL\vec{F}=\vec{B}\times\vec{I}L,其中F\vec{F}为安培力,B\vec{B}为磁感应强度,I\vec{I}为电流强度

左力:伸开左手,使大拇指与其余四指垂直并与手掌处于同一平面,将手放入磁场, 让磁感线穿入手心,四指指向电流方向(正电荷移动方向)。大拇指指向的就是安培力(洛伦兹力)方向。

  1. F=qvBF=qvB 洛伦兹力 F=qv×B\vec{F}=q\cdot\vec{v}\times\vec{B}

带电粒子在匀强磁场中运动

  1. 轨迹半径

    qvB=mv2RR=mvqB=pqB=2mEkqBqvB=m\frac{v^2}{R}\Rightarrow R=\frac{mv}{qB}=\frac{p}{qB}=\frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}

  2. 周期

    2πR=2πmvqB=vTT=2πmqB2\pi R=2\pi \frac{mv}{qB}=vT\Rightarrow T=\frac{2\pi m}{qB}

  3. 角速度

    ω=2πT=qBm\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{qB}{m}

  4. 动能

    Ek=B2q2R22mE_k=\frac{B^2q^2R^2}{2m}

电磁感应

  1. Φ=SBdS=BS\Phi=\oint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}=BS 磁通量表示磁场中穿过某一面积的磁感线条数,其中dSd\vec{S}为无穷小矢量,满足 BdS\vec{B}\perp d\vec{S}
  2. ΔΦ=Φ2Φ2=ΔBS=BΔS\Delta\Phi=\Phi_2-\Phi_2=\Delta B\cdot S=B\cdot\Delta S 磁通量变化量
  3. ΔΦΔt=ΔBSΔt=BΔSΔt\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\frac{\Delta B\cdot S}{\Delta t}=\frac{B\cdot\Delta S}{\Delta t} 磁通量变化率
  4. 右电——感应电流:伸开右手,大拇指与其余四指垂直,并且都跟手掌在同一平面内,让磁感线穿入掌心,大拇指指向导体切割磁感线运动的方向,其余四指所指方向就是感应电流的方向。
  5. 右电——右手螺旋定则:四指握拳,伸出大拇指,大拇指指向磁场方向,四指指向电流方向。

楞次定律

  1. 感应电流的效果总是要反抗引起感应电流(磁通量变化)的原因
  2. 感应电流的磁场与原磁场的方向关系满足“ 增反减同,来拒去留,增缩减扩
    1. 增反减同(导体插入螺旋线圈):阻碍原磁通量变化。线圈中磁通量的变化与感应磁场的磁通量变化满足“增反减同”,用右手螺旋定则可以判断电流方向。
    2. 来拒去留(金属框):阻碍相对运动。当感应电流是由相对运动引起时,运动导体接近时表现为斥力,远离时为引力。
    3. 增缩减扩(双棒模型):形变或型变得趋势仍是向阻碍磁通量变化的方向进行。通常是磁通量增大时回路面积缩小,反之亦然(维持Φ\Phi守恒的趋势)
    4. 自感现象:阻碍原电流的变化。当产生原磁场的线圈中的电流发生变化时,通过线圈的磁通量也会变化,在线圈中会产生感应电动势,阻碍原电流的变化。

电磁感应定律

  1. E=nΔΦΔtE=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} 电路中的感应电动势
  2. E=nΔBΔtSE=n\frac{\Delta B}{\Delta t}S 平均感生电动势 E=limΔt0nΔBΔtSE={\lim\limits_{\Delta t\to0}}n\frac{\Delta B}{\Delta t}S瞬时感生电动势
  3. E=BlvE=Blv 动生电动势(瞬时电动势),其中{Bl=0Bv=0lv=0\begin{cases}\vec{B}\cdot\vec{l}=0\\\\\vec{B}\cdot\vec{v}=0\\\\\vec{l}\cdot\vec{v}=0\end{cases}
    4. I=BlvR+rI=\frac{Blv}{R+r} 动生电流,RR为外电路电阻,rr为感生电动势产生导体内阻
    2. q=IˉΔt=ΔBSR=ΔΦRq=\bar{I}\Delta t=\frac{\Delta B S}{R}=\frac{\Delta\Phi}{R} 单位时间通过导体截面电荷量
    3. Ft=ΔpF_合t=\Delta p或者p1+p2=p1+p2p_1+p_2=p_1'+p_2'
    4. FS=ΔEkF_合S=\Delta E_k
  4. 互感:两个相互靠近的线圈,当一个线圈中的电流变化时,它所产生的变化的磁场会在另一个线圈中产生感应电动势。
  5. 自感:总是阻碍导体中原电流的变化,起到延迟电流变化的作用。
  6. 涡流:当线圈中电流随时间变化时,线圈附近的任何导体中都会产生感应电流,电流在导体内自成回路。(真空冶炼炉、探雷器、安检仪)

交变电流

  1. 中性面:SBS\perp B时的位置

    1. 线圈\parallel中性面时,limΔt0ΔΦΔt\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0=0Φ=Φmax\Rightarrow \Phi=\Phi_{max}e\Rightarrow e=nΔΦΔt=0=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0
    2. 线圈\perp中性面时,max(limΔt0ΔΦΔt)max(\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\Phi}{\Delta t})Φ\Rightarrow \Phi=0=0e\Rightarrow e=nΔΦΔt=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=emax=e_{max}
  2. 瞬时值(瞬时…)

    1. 从中性面开始计时:

      e=±limΔt0NBΔSΔte=\pm\lim\limits_{\Delta t\to0}N\frac{B\Delta S_{投影}}{\Delta t}=±limΔt0NB[SΔcos(ωt)]Δt=\pm\lim\limits_{\Delta t\to0}N\frac{B[S\cdot \Delta cos(\omega t)]}{\Delta t}

      =NBSωsin(ωt)\quad=\mp NBS\omega\cdot sin(\omega t)=Emsin(ωt)=\mp E_msin(\omega t)

    2. 从水平面开始计时:

      e=±limΔt0NBΔSΔte=\pm\lim\limits_{\Delta t\to0}N\frac{B\Delta S_{投影}}{\Delta t}=±limΔt0NB[SΔsin(ωt)]Δt=\pm\lim\limits_{\Delta t\to0}N\frac{B[S\cdot \Delta sin(\omega t)]}{\Delta t}

      =±NBSωcos(ωt)\quad=\pm NBS\omega\cdot cos(\omega t)=±Emcos(ωt)=\pm E_mcos(\omega t)

  3. 有效值(电热、电功):

    {Q1=0T(Emsin(x))2Rdx=(Em)2RT0Tsin(x)2dx=π(Em)2R1Q2=E2RT=E2R2π2Q1=Q23\begin{cases}Q_1=\int_{0}^{T}\frac{(E_m|sin(x)\|)^2}{R}dx=\frac{(E_m)^2}{R}T\int_{0}^{T}\|sin(x)\|^2dx=\pi\frac{(E_m)^2}{R}&1\\\\{Q_2}=\frac{E^2}{R}T=\frac{E^2}{R}2\pi&2\\\\Q_1=Q_2&3\end{cases}

    1,2,31,2,3式子联立

    Q1Q2=Em22E2=1\Rightarrow \frac{Q_1}{Q_2}=\frac{E_m^2}{2E^2}=1

    E=22Em\Rightarrow E=\frac{\sqrt{2}}{2}E_m

  4. 平均值(通过电阻的电荷量):Eˉ=nΔΦΔt\bar{E}=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}Eˉ=Blvˉ\bar{E}=Bl\bar{v}Eˉ=Iˉ(R+r)\bar{E}=\bar{I}(R+r)

  5. 电容器:通交阻直;电感器:通直阻交

变压器

  1. 一个副线圈E=nΔΦΔt\quad\because E=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}I=ER+rE1E2=U1U2=I1I2=n1n2I=\frac{E}{R+r}\quad\therefore\frac{E_1}{E_2}=\frac{U_1}{U_2}=\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_1}{n_2}
  2. nn个副线圈P=P=i=1nPi\quad\because P_出=P_入=\sum\limits_{i=1}^{n}P_i\quadI0U0=i=1nIiUi\therefore I_0U_0=\sum\limits_{i=1}^{n}I_iU_i

热学

  1. 扩散现象:不同物质相接触时,物质分子可以彼此进入对方中的现象。直接证明分子在做无规则热运动
  2. 布朗运动虽不是分子的运动,但反映了液体(或气体)分子运动的情况。
  3. 分子间同时存在着引力和斥力(电磁力,分子电荷分布不均)
  4. 内能

{{{内能\begin{cases}分子总动能\begin{cases}温度(影响分子平均动能)\\\\分子数\end{cases}\\\\分子总势能\begin{cases}体积(影响分子势能)\\\\分子数\end{cases}\end{cases}

气体

  1. PV=nRTPV=nRT,其中nn为物质的量,RR为理想气体常数
  2. 理想气体的分子势能忽略不计,为0;理想气体的内能等于所有分子的动能。
  3. 一定质量的理想气体,其内能只与温度有关,与体积无关。

热力学定律

  1. 热力学第一定律:一个热力学系统的内能增量等于外界向它传递的热量与外界对它所做功之和。ΔU=W+Q\Delta U=W+Q
    1. 第一类永动机:不消耗任何能量却能源源不断地对外做功的机器。
  2. 热力学第二定律:热量不能自发地从低温物体传到高温物体;不可能从单一热库吸收热量,使之完全变成功,而不产生其他影响。
    1. 实质:一切与热现象有关的宏观过程都具有方向性,即一切与热现象有关的宏观的自然过程都是不可逆的。
    2. 第二类永动机:效率为100%的热机。
  3. 热力学第三定律:热力学零度(0K0K)不可能达到。

动量

  1. 动量定理:Ft=mΔvF_合\cdot t=m\Delta v

  2. 动量守恒:i=1nmi(Δv1,Δv2,...,Δvk)=0\sum\limits_{i=1}^{n}{m_i(\Delta v_1,\Delta v_2,...,\Delta v_k)}=0

  3. 弹性碰撞的动量守恒和机械能守恒联立

    {m1v1+m2v2=m1v1+m2v212m1v12+12m2v22=12m1v12+12m2v22\begin{cases}m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'\\\\\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2\end{cases}

  4. 非弹性碰撞的动量守恒和机械能守恒联立

    {m1v1+m2v2=m1v1+m2v212m1v12+12m2v22=12m1v12+12m2v22+ΔE\begin{cases}m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'\\\\\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2+\Delta E\end{cases}

  5. 临界问题——共速时刻

  6. 人船m,Mm,M模型——S=mlM+mS=MlM+mS_船=\frac{ml}{M+m},S_人=\frac{Ml}{M+m}

原子核

方程式 备注
714N+24He818O+11H^{14}_{7}N+^4_2He\rightarrow ^{18}_8O+^1_1H 卢瑟福发现质子
49Be+24He612C+01n^9_4Be+^4_2He\rightarrow^{12}_6C+^1_0{n} 查德威克发现种子
24He+1327Al1530P+01n^4_2He + ^{27}_{13}Al \rightarrow ^{30}_{15}P + ^1_0n 小居里夫妇发现人工放射性同位素
1530P10e+1430Si^{30}_{15}P\rightarrow ^0_1e+^{30}_{14}Si 小居里夫妇发现正电子
92235U+01n56144Ba+3689Kr+301n^{235}_{92}U+^1_0n\rightarrow ^{144}_{56}Ba+^{89}_{36}Kr+3^1_0n 重核裂变
12H+13H24He+01n^2_1H+^3_1H\rightarrow ^4_2He+^1_0n 轻核聚变

设放射性元素ZAX^A_ZX经过nnα\alpha衰变和mmβ\beta衰变后,变成稳定的ZAY^{A'}_{Z'}Y,则表示该和反应的方程式ZAXZAY+n24He+m10e^A_ZX\rightarrow ^{A'}_{Z'}Y +n^4_2He+m ^0_{-1}e

A=A+4n,Z=Z+2nmA=A'+4n,Z=Z'+2n-m

n=AA4,m=AA2+ZXn=\frac{A-A'}{4},m=\frac{A-A'}{2}+Z'-X

万有引力

  1. 开一律:所有星星围绕太阳运动都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。
  2. 开二律:对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。
  3. 开三律:所有行星的轨道的半长轴的三次方和它的公转周期的二次方的比值都相等。a3T2=k\frac{a^3}{T^2}=k
  4. 万有引力定律:F=GMmr2F=G\frac{Mm}{r^2}
距离 公式选择
地面 GMmr2=mgG\frac{Mm}{r^2}=mg黄金代换
近地轨道 GMm(r+h)2=mgh,gh=(rr+h)2gG\frac{Mm}{(r+h)^2}=mg_h,g_h=(\frac{r}{r+h})^2g
环绕轨道 GMm(r+h)2=mv2r=mω2rG\frac{Mm}{(r+h)^2}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r
  1. 已知距离行星球心高度rr,轨道周期TT,行星半径RR

    GMmr2=m4π2T2rG\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r

    M=4πr3GT2M=\frac{4\pi r^3}{GT^2}

    ρ=MV=M43πR3=3r3GT2R3\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3r^3}{GT^2R^3}

  2. 双星问题

    {GMm(R+r)2=mvm2r=mω2rGMm(R+r)2=MvM2R=Mω2RR+r=L\begin{cases}G\frac{Mm}{(R+r)^2}=m\frac{v_m^2}{r}=m\omega^2r\\\\G\frac{Mm}{(R+r)^2}=M\frac{v_M^2}{R}=M\omega^2R\\\\R+r=L\end{cases}

  3. 天体相遇:若运行方向相同,内侧天体B比外侧天体A多走一圈时相遇一次。在Δt\Delta t时间内相遇的次数为

    n=ΔtTBΔtTA=ωBωA2πΔtn=\lfloor\frac{\Delta t}{T_B}-\frac{\Delta t}{T_A}\rfloor=\lfloor\frac{\omega_B-\omega_A}{2\pi}\Delta t\rfloor

    若运行方向相反,则A,B每转过的圆心角之和为2π2\pi时才相遇一次

    n=ΔtTB+ΔtTA=ωB+ωA2πΔtn=\lfloor\frac{\Delta t}{T_B}+\frac{\Delta t}{T_A}\rfloor=\lfloor\frac{\omega_B+\omega_A}{2\pi}\Delta t\rfloor


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